A lo largo de la historia los números se fueron utilizando cada vez en mayor medida y con mayor utilidad. Sin embargo, con su uso no era suficiente para poder crear unos cálculos generales que se encontrasen basados en valores posibles que pudieran correspondientes con cantidades que respondiesen a los problemas del mundo real, los cuales eran en su mayor parte de geometría y, en muchas ocasiones también relacionados con la astronomía.

Por este motivo, los árabes optaron por introducir un sistema que hacia uso de letras y otros símbolos para crear expresiones matemáticas. Esto dio origen a lo que ahora conocemos como Álgebra. El primer matemático en escribir un tratado haciendo uso del lenguaje algebraico fue Al-Khuwarizmi.

De esta manera se puede determinar que el álgebra es la parte de las matemáticas encargada de estudiar la relación existente entre diferentes letras, números y símbolos. Por ello, el lenguaje algebraico puede definirse como aquel que hace uso de símbolos y letras para la represenación de números. La función principal de este lenguaje es estructurar un lenguaje que ayude a la hora de hacer frente a las diferentes operaciones aritméticas.

Características del lenguaje algebraico

Existen diferentes aspectos que caracterizan al lenguaje algebraico y que debes conocer para entender mejor de qué se trata:

  • Tiene una gran precisión. Es decir, tienen un nivel de concreción mayor al del lenguaje numérico. Esto hace que se puedan expresar enunciados largos de una manera más reducida.
  • Es posible expresar números que se desconocen y llevar a cabo de igual forma operaciones de carácter matemáticos con ellos.
  • Permite expresar diferentes propiedades numéricas y relaciones de carácter general, es decir, las fórmulas diversas que nos permiten realizar diferentes cálculos.
  • Al escribir con este lenguaje se pueden alterar cantidades que se desconocen con símbolos que son fáciles de escribir. Esto hace que se puedan simplificar teoremas formulando ecuaciones y también ayudar al estudio para resolverlas.

De esta manera el lenguaje algebraico busca crear un idioma que tiene por objetivo generalizar operaciones que tengan que ver con la aritmética. De esta forma complementa a esta, n la que sus operaciones básicas son la suma, la resta, la división y la multiplicación.

Por otro lado, hay que tener en cuenta que una algebraica representa un conjunto de números y letras que se ombinan a través de signos de operaciones y que, está compuesta por exponentes, coeficientes y base. Por ejemplo en la operación 3×4, 3 es el coeficiente, «x» la base y 4 el exponente numérico.

En este caso el coeficiente indica la cantidad de carácter numérico que se sitúa a la izquierda de la base, mostrando así el número de ocasiones en la que debe ser sumada o restada, en función del signo que le acompañe. En este caso sería 3×4= x4+x4+x4.

El exponente numérico es la cantidad que se coloca a la derecha de la base y que indica el número de veces en el que la base se toma como producto. Ej: 3×2= 3 (x) (x).

De esta manera se puede conocer que el valor numérico dentro de una expresión algebraica es el número que es resultante de la sustitución de las letras por números.

El álgebra elemental

El álgebra es la rama de las matemáticas que está centrada en las relaciones, las cantidades y las estructuras, una disciplina conocida con el nombre de álgebra elemental, en la que se pueden llevar a cabo operaciones aritméticas diversas, pero que a diferencia de la aritmética, puede hacer uso de diferentes símbolos que se encargan de sustituir a los número. Esto permite que se puedan crear, como ya hemos mencionado, diferentes leyes y fórmulas, pudiendo hacer referencias a números o valores que se desconocen y que, por tanto, sin incógnitas. Esto hace que se puedan desarrollar ecuaciones y resolverlas.

En el conocido como álgebra elemental hay diferentes leyes que permiten a las personas tener un conocimiento de las propiedades con las cuales poder llevar a cabo diferentes operaciones aritméticas, como puede ser la adición (a+b) que es conmutativa (a+b = b+a), asociativa, y tiene una operación inversa y un elemento neutro. En ocasiones estas propiedades se comparten por diferentes operaciones.

Según indica el conocido como Teorema Fundamental del Álgebra, en el caso de una variable no constante en la que hay coeficientes complejos, un polinomio tiene tantas raíces como las que indica su grado. Esto se debe a que las raíces se consideran con sus multiplicaidades.

El álgebra de Boole

El álgebra de Boole, que también recibe el nombre de álgebra booleana, es una rama especial del álgebra que se utiliza principalmente en el ámbito de la electrónica digital y que fue inventada por George Boole, un matemático inglés en el año 1854.

Con este método se busca la simplificación de los circuitos lógicos o circuitos de conmutación lógica, dentro de la electrónica digital. Este álgebra fue creado para sistemas de controles como conectores y relés, los cuales tienen dos estados, abierto (o conductor) o cerrado (no conductor).

Ambos estados son representados con un 1 (abierto) o un 0 (cerrado), lo que hace que se simplifique y se estudie de manera más sistemática estos componentes lógicos.  Al mismo tiempo, se aplican diferentes leyes y propiedades que no se relacionan de manera directa con el elemento del que se trate. Es decir, no importa si es un transistor, una puerta lógica o un relé.

Así pues, Boole estableció que todo componente que sea de tipo «todo o nada», se puede presentar con un valor 1 o 0. El álgebra de Boole tiene establecidas diferentes reglas que deben tenerse en cuenta para poder realizar este tipo de operaciones en esas variables.

Leyes del álgebra de Boole

A la hora de proceder a formular expresiones matemáticas para los circuitos lógicos, hay que conocer las normas que se establecen dentro del álgebra de Boole. De esta manera se pueden simplificar los enunciados lógicos binarios. Antes de indicar las diferentes leyes, debes saber que una barra sobre un símbolo indica que se trata de una inversión de la señal.

Leyes fundamentales

OR

A + 0 = A
A + 1 = 1

Y también:
A + A = A
A + A* = 1

El * hace referencia una barra de negación.

AND

A + 0 = 0
A + 1 = A

Y también:
A + A = A
A + A = 0

NOT

A* = A

El * es equivalente en este caso a dos barras de negación.

Leyes conmutativas

A + B = B + A
A ∙ B = B ∙ A

Leyes asociativas

(A + B) + C = A + (B + C)
(A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C)

Leyes asociativas

A ∙ (B + C) = (A ∙ B) + (A ∙ C)
A + (B ∙ C) = (A + B) ∙ (A + C)

Asimismo  existen otras identidades que son de utilidad y que se deben conocer para poder dominar el álgebra de Boole. En todo caso, también hay que tener en cuenta que es posible simplificar las funciones booleanas, para lo cual se pueden usar tanto identidades como el conocido como Mapa de Karnaugh.

Con el Mapa de Karnaugh se pueden simplificar las funciones algebraicas de una manera gráfica a través de diferentes patrones y sin tener que llevar a cabo cálculos complejos y extensos. No obstante, para poder aplicarlo es también necesario tener el conocimiento de sus reglas y las diferentes agrupaciones de los valores que se pueden obtener. Esto es importante conocerlo por quienes trabajen o se encuentren con el estudio de procesos lógicos.

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